中国南宋杰出的数学家 - 杨辉

杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是中国南宋时期数学家。杨辉生于约宋理宗嘉熙二年（1238年），终于约元成宗大德二年（1298年）。

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生平

杨辉著有《详解九章算法》12卷、《日用算法》192卷、《乘除通变算宝》3卷、《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷及《九章算法篡类》、《杨辉算法》等多本算法的著作。

1433 韩国出版的《杨辉算法》

杨辉著作的一个共同特色，就是具有充分的实用性质。这可以从他身处的时代背景去了解。宋室南渡后，中国政治、社会、经济、文化的中心，是继南北朝之后的一次大规模南迁。江南人口因而大量增加，农作有了改进，手工业作坊的兴盛和商业贸易的发达，也臻于历史上的高潮，许多史学家认为中国自宋代开始具有近代史的性格。这种发展对数学的要求便是商用、日用数学的简化、系统化。杨辉的五本著作充份反映了这一趋势。[1]

另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格。这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助。

杨辉在著作中收录了不少现已失传的、古代各类数学著作中很有价值的算题和算法，保存了许多十分宝贵的宋代数学史料。他对任意高次幂的开方计算、二项展开式、高次方程的求解、高阶等差级数、纵横图等问题，都有精到的研究。杨辉十分留心数学教育，并在自己的实践中贯彻其教育思想。杨辉更对于垛积问题（高阶等差级数）及幻方、幻圆作过详细的研究。

由于他在他的著作里提及过贾宪对二项展开式的研究，所以“贾宪三角”又名“杨辉三角”。这比欧洲于17世纪的同类型的研究“帕斯卡三角形”早了差不多五百年。在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等。这些在中国数学史上，都占有重要的地位。

杨辉八阵图

在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图（幻方），它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述。杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆。

杨辉三角（帕斯卡的三角形）所使用的数字标记，如公元1303年朱世杰《四元玉鉴》中的“古法七乘方图”

杨辉简化、统一中国筹算数学的功劳，可以从几个方面来谈：第一，他在运筹计算过程中，不但尽量避免分数采用小数，而且把表示小数的名词统一与标准化（中国数学是文字的、非符号的），使得有关小数的运算变得更简单正确。由于中国度量衡制度很早便已完备，延迟了小数符号的出现，一直到杨辉才解决了这个问题。

第二，他将联立一次方程式的各种解法，归纳成一般的法则，在他之前联立一次方程式的求解一直脱离不了解特例的型态。

第三，他将中国古来的纵横图首次当作一种数学问题来研究，使这种古传的「魔方」游戏，正式成为组合解析的数学问题。此外他对等差级数、开方的几何解法、二项式定理、和雏形的中国演绎几何学都有相当的贡献。最重要的一点，杨辉书中的教学歌诀，不但反映了当时商用、日用数学的需求，同时对它们发生了反馈的促进作用。尤其他在《续古摘奇算法》所提出的归除歌诀，和后来朱世杰的九归歌诀，共同成为明代珠算发明的充分条件，使中国传统数学工具的改革得以完成。杨辉虽然没有什么高超独特的发明，但是民间商用数学正是那个时代数学发展的主流，杨辉便像是一条在主流上乘风破浪的船。[2]

杨辉三角

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式系数的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前 12 行写出来如下：

杨辉三角

杨辉三角形第 n 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 n 层即第 n+1 行，此处 n 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 (a+b)^n 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 (a+b)² 展开形式 a²+2ab+b² 的系数。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：

Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世纪（图文无存）

贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 （图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）

杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功（图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）

朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式

阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》（现存图文）

阿皮亚纳斯 德国 1527

施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数

薛贝尔 法国 1545

B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

幻方

幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从 1 到 N² 的连续整数组成，其中N 为正方形的行或列的数目。因此 N 阶幻方有 N 行 N 列，并且所填充的数为从 1 到 N²。

幻方可以使用 N 阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数 M2(N)，如果填充数为 1,2,..., N²，那么有

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

杨辉纵横图

参考资料: 

[1],[2] 蔡辰理, 《中国数学史上的黄金时代及其四个伟大的数学家》

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