A mixed dominating set is a collection of vertices and edges that dominates all vertices and edges of a graph. We study the complexity of exact and parameterized algorithms for \textsc{Mixed Dominating Set}, resolving some open questions. In particular, we settle the problem's complexity parameterized by treewidth and pathwidth by giving an algorithm running in time $O^*(5^{tw})$ (improving the current best $O^*(6^{tw})$), as well as a lower bound showing that our algorithm cannot be improved under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), even if parameterized by pathwidth (improving a lower bound of $O^*((2 - \varepsilon)^{pw})$). Furthermore, by using a simple but so far overlooked observation on the structure of minimal solutions, we obtain branching algorithms which improve both the best known FPT algorithm for this problem, from $O^*(4.172^k)$ to $O^*(3.510^k)$, and the best known exponential-time exact algorithm, from $O^*(2^n)$ and exponential space, to $O^*(1.912^n)$ and polynomial space.
翻译:混合主导数据集是一组支配所有脊椎和边緣的脊椎和边缘集合, 以图图的边缘和边缘为主。 我们研究了 \ textsc{ mixed Dominate Set} 精确和参数化算法的复杂性, 解决了一些尚未解决的问题 。 特别是, 我们解决了这个问题的复杂参数, 用树枝和路径线来给出一个按时间运行的算法 $O {( 5 ⁇ tw}) $( 改进目前最佳的 $O ⁇ ( 6 ⁇ tw} ), 以及一个较低范围, 显示即使以路径线性参数( 改进了 $O}( 2-\ varepsilon) 和 $O_% r_% 美元( 美元) 和已知的指数性( 美元) 和 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 和 美元( 美元/ 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 和 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 和 美元) 美元( 美元( 美元) 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( 美元) 和 美元) 美元) 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( 和已知的指数- 美元( 美元( 美元) 美元) 美元) 美元) 和 和 美元( 和已知的 美元) 美元) 美元( 和 美元( 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元) 美元) 和 和 美元) 美元) 和 美元) 和 和 美元( 和 和已知的 美元 和 美元 和 和 和 美元( 美元) 美元) 和 美元 美元 和 美元 美元 美元 和 美元) 美元) 和 等最佳的 美元 美元 美元 美元 美元 美元 和 美元 和 美元 美元 美元 美元 美元 美元 和 美元