蒙特卡罗方法 - 专知主题

蒙特卡罗方法(或蒙特卡罗实验)是一类依赖于重复随机抽样来获得数值结果的广泛的计算算法。他们的基本思想是利用随机性来解决原则上可能是确定性的问题。它们通常用于物理和数学问题，在难以或不可能使用其他方法时最有用。蒙特卡罗方法主要用于三种不同的问题类别:优化、数值积分和概率分布生成。在与物理相关的问题中，蒙特卡罗方法对于模拟具有许多耦合自由度的系统非常有用，例如流体、无序材料、强耦合固体和细胞结构(见细胞波茨模型、相互作用粒子系统、麦肯-弗拉索夫过程、气体动力学模型)。其他例子包括在输入中具有重大不确定性的建模现象，如商业风险的计算，以及在数学中对具有复杂边界条件的多维定积分的评估。在应用于空间和石油勘探问题中，基于蒙特卡罗的失败、成本超支和计划超支的预测通常比人类直觉或替代的“软”方法更好。理论上，蒙特卡罗方法可以用来解决任何具有概率解释的问题。根据大数定律，由某个随机变量的期望值所描述的积分可以通过取该变量的独立样本的经验均值(又称样本均值)来近似。当参数化变量的概率分布时，数学家通常使用马尔可夫链蒙特卡洛采样器。其核心思想是设计一个具有规定的平稳概率分布的明智的马尔可夫链模型。利用遍历定理，用MCMC采样器随机状态的经验测度逼近平稳分布。在其他问题中，目标是从满足非线性演化方程的概率分布序列中生成结果。这些概率分布流总是可以被解释为马尔可夫过程的随机状态的分布，其转移概率取决于当前随机状态的分布(见McKean-Vlasov过程，非线性滤波方程)。在其他情况下，我们得到一个采样复杂度不断增加的概率分布流(路径空间模型随时间范围的增加，与温度参数降低相关的波尔兹曼-吉布斯测量，以及许多其他的)。这些模型也可以看作是非线性马尔可夫链随机状态定律的演化。模拟这些复杂的非线性马尔可夫过程的一种自然方法是对该过程的大量副本进行抽样，用抽样的经验测度代替演化方程中随机状态的未知分布。与传统的蒙特卡罗和马尔可夫链蒙特卡罗方法相比，这些平均场粒子技术依赖于序列相互作用的样本。术语意指场反映了每个样本(即粒子、个体、行者、代理、生物或表型)与过程的经验测量相互作用的事实。当系统规模趋于无穷大时，这些随机经验测度收敛于非线性马尔可夫链随机状态的确定性分布，从而使粒子间的统计相互作用消失。