The $\textit{Hamming distance}$ $\text{ham}(u,v)$ between two equal-length words $u$, $v$ is the number of positions where $u$ and $v$ differ. The words $u$ and $v$ are said to be $\textit{conjugates}$ if there exist non-empty words $x,y$ such that $u=xy$ and $v=yx$. The smallest value $\text{ham}(xy,yx)$ can take on is $0$, when $x$ and $y$ commute. But, interestingly, the next smallest value $\text{ham}(xy,yx)$ can take on is $2$ and not $1$. In this paper, we consider conjugates $u=xy$ and $v=yx$ where $\text{ham}(xy,yx)=2$. More specifically, we provide an efficient formula to count the number $h(n)$ of length-$n$ words $u=xy$ over a $k$-letter alphabet that have a conjugate $v=yx$ such that $\text{ham}(xy,yx)=2$. We also provide efficient formulae for other quantities closely related to $h(n)$. Finally, we show that there is no one easily-expressible good bound on the growth of $h(n)$.
翻译:$\ textit{ conjugates}$x, y$=yx美元。 最小值$\ text{ ham} (xy,yx) 可以是 $0 美元, 美元和美元。 但是, 有趣的是, 下一个最小值$\ text{ ham} (x,yx) 美元可以是$2美元而不是美元。 在本文中, 美元=xx, 美元=yx美元, 美元=yx美元。 最具体地说, 我们提供一种高效的公式来计算 美元(n) 美元, 美元和美元通勤。 但是, 有趣的是, 下一个最小值$\ text{ham} (x,y, yx) 美元, 美元是美元, 美元=美元=美元。 在本文中, 美元=yx=yx 美元, 美元= 美元 美元。 美元= 美元= 美元= 美元。 美元= 美元= 美元= 美元= 美元。 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元。 美元= 美元= 美元。 美元= 美元= 美元。 美元= 美元= 美元= 美元。