因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。

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因子分析是一种在工业领域广泛使用的统计学方法. 在金融资产管理中, 因子分析通过对历史价格波动的极大似然估计推导自适应的统计学因子来生成风险模型. 与通过使用预先设定具有经济学含义的因子来生成风险模型的基本面因子模型相比, 通过因子分析生成的模型不仅更灵活, 还能发现在基本面模型中缺失的因子. 然而, 由于因子分析所生成模型中的统计学因子缺少可解释性, 因此当金融数据中存在显著噪音时容易过拟合. 针对中国股市数据的风险模型生成问题, 本文提出快速因子分析算法以及将基本面因子结合到因子分析中的挑选基本面因子的混合因子分析方法, 使风险模型同时在因子探索及模型可解释性上达到最优. 实验结果显示快速因子分析方法能够达到31倍以上的加速比, 且新混合因子分析方法能够增大人造数据集以及真实数据集上预测的对数似然估计值. 在真实数据集上, 新方法能最好够达到平均对数似然估计值12.00, 比因子分析构建模型的7.56大4.44, 并且两个算法均值差值的标准差为1.58, 表现出新方法能构建更准确的风险模型.

本文针对中国股市风险评估问题, 将基本面因子暴露整合到统计学因子分析中提出一种新的混合因子分析方法生成中国股票的风险模型. 首先, 本文提出一种快速因子分析算法. 其次, 修改因子分析的期望最大化过程使其包含基本面因子暴露及一个用来调整基本面因子的大小和相关性的方阵, 从而推导出新的混合因子分析算法. 最后, 基于混合因子分析算法提出了近似最优的基本面因子挑选算法, 并将其与混合因子分析算法结合得到挑选基本面因子的混合因子分析算法. 我们使用三个人造数据集和一个真实数据集来测试本文所提出算法的性能, 实验结果表明快速因子分析算法在第一个人造数据集上能够带来31倍以上的加速比, 并且本文提出的挑选基本面因子的混合因子分析算法能够有效地构建准确且稳定的风险模型. 在所有的人造数据集上, 使用我们的挑选基本面因子的混合因子分析算法得到的风险模型的对数似然估计值(log-likelihood)的均值都要大于统计学因子分析生成的模型, 并且标准差基本相同甚至更小; 在真实数据集上, 该方法得到平均对数似然估计值为12.00, 比因子分析构建模型的7.56大4.44, 同时前者的平均对数似然估计值的标准差为8.25, 小于因子分析的9.06.

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A key question in many low-rank problems throughout optimization, machine learning, and statistics is to characterize the convex hulls of simple low-rank sets and judiciously apply these convex hulls to obtain strong yet computationally tractable convex relaxations. We invoke the matrix perspective function - the matrix analog of the perspective function-and characterize explicitly the convex hull of epigraphs of convex quadratic, matrix exponential, and matrix power functions under low-rank constraints. Further, we exploit these characterizations to develop strong relaxations for a variety of low-rank problems including reduced rank regression, non-negative matrix factorization, and factor analysis. We establish that these relaxations can be modeled via semidefinite and matrix power cone constraints, and thus optimized over tractably. The proposed approach parallels and generalizes the perspective reformulation technique in mixed-integer optimization, and leads to new relaxations for a broad class of problems.

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A key question in many low-rank problems throughout optimization, machine learning, and statistics is to characterize the convex hulls of simple low-rank sets and judiciously apply these convex hulls to obtain strong yet computationally tractable convex relaxations. We invoke the matrix perspective function - the matrix analog of the perspective function-and characterize explicitly the convex hull of epigraphs of convex quadratic, matrix exponential, and matrix power functions under low-rank constraints. Further, we exploit these characterizations to develop strong relaxations for a variety of low-rank problems including reduced rank regression, non-negative matrix factorization, and factor analysis. We establish that these relaxations can be modeled via semidefinite and matrix power cone constraints, and thus optimized over tractably. The proposed approach parallels and generalizes the perspective reformulation technique in mixed-integer optimization, and leads to new relaxations for a broad class of problems.

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