理解多层CNN中转置卷积的反向传播（附代码）- 专知

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理解多层CNN中转置卷积的反向传播（附代码）

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【导读】转置卷积一直不太好理解，今天我们通过详细的推导示例及代码了解简单的两层CNN中转置卷积的反向传播。

编译 | 专知

参与 | Yingying, Xiaowen

今天，我们要训练一个简单的有两个卷积层的CNN，如下所示。

灵感来源

盘子上的玉米提示了我CNN反向传播过程中的解卷积的原理。

红框是2 * 2输出图像

绿色框是3 * 3卷积核

蓝色框是4 * 4输入图像

“由于我们在对4 * 4图像执行卷积后得到2 * 2的输出图像，因此在执行反向传播时，我们需要对2 * 2输出图像执行一些操作，以获得具有4 * 4的图像。”

但玉米让我意识到目标不是恢复原始图像。相反，应该是获得网络中每个权重的错误率。而在多层CNN的情况下，我们需要反向传播该错误率。让我试着通过一个具体的例子和代码来解释我的意思。

网络结构

如上所示，网络结构非常简单，只有两层卷积和一层完全连接的层。请注意，在执行卷积时，我们需要将卷积核转置（旋转）180度，请注意上图中的绿色框。

另外，请注意，为了简单我并没有绘制激活层。但在代码中，我使用了tanh（）或者archtan（）作为激活函数。

前向传播

注意：作者在列上犯了一个错误，必须交换绿色箭头指向的两列。

所以如上所见，卷积操作可以写成一行。由于我将在稍后解释的原因，请仔细记下红框变量，它们是下一层的输入。这些信息在执行反向传播时很重要。

（上图中绿色权重的）反向传播

黄框代表学习率，整个反向传播就是标准的过程。我把梯度更新方程也写下来了。。最后，请注意红框中的符号'k'，我会反复使用此符号来表示（Out - Y）。

（上图中红色权重的）反向传播

红框→（Out - Y）

黄框→学习率

黑框→在卷积操作之前旋转内核180度（或转置）（记住在卷积运算中，我们旋转卷积核）。

除了紫色框，一切都非常简单直接，那紫色方框是干什么的？

紫框→旋转矩阵以适合计算每个权值量的导数。

现在的问题出现了，为什么？我们为什么要做这个？

还记得我告诉过你们要注意每层的输入吗？那么让我们再回去一次。

请仔细查看彩色框。

橙框→正在乘以红色W的输入W（2,2）

浅绿色框→正在乘以红色的输入W（2,1）

蓝色框→正在乘以红色W的输入W（1,2）

粉红色框→正在乘以红色的输入W（）1,1）

这很简单，但是这与转置卷积核有什么关系？因为（请看黑色框方程）Out可以写成一行，红框中权值的梯度如下：

深绿色框中的数字->绿色的权值。

正如所看到的那样，当对每个红色权重计算导数时，我们可以看到XX坐标因输入而异。我们需要将这些坐标与每个权重进行匹配，这就是我们将矩阵旋转180度的原因。

蓝色权重反向传播第1部分

篮框→计算（K *绿色重量）和（填充红色权重）之间的卷积

橙框→再次旋转矩阵得到每个权重的梯度

黑框→在卷积操作之前旋转卷积核

现在，问题出现了，为什么Padding（紫框）？为什么我们需要填充红色权值？

这问题我们稍后解释。

蓝色权重反向传播第2部分

蓝框→第1部分中计算的矩阵

黑框→在卷积操作之前转置卷积核

橙色，浅绿色，蓝色，粉红色框→计算每个蓝色权值的梯度

以上是对旋转的卷积核进行更仔细的观察，同时执行卷积操作。但现在让我们再看看输入。

再一次，因为Out可以写成一行，所以蓝色权重的梯度如下所示：

绿框→绿色权值

橙框→蓝色权值W(2,2)的梯度

粉框→蓝色权值W(1,1)的梯度

所以，我们再次旋转（或转置）矩阵以匹配每个权重的梯度。

另外，现在我们填补红色权重的原因很明显，就是为每个权重获计算梯度，我会再次向你展示我的意思是填充红色权重（请看紫色星号部分）。

激活函数

绿框→激活函数的导数，因为它们具有相同的维数，我们可以进行元素相乘

红框→旋转卷积核以匹配梯度

篮框→用零填充红色权重（命名为W2）

代码

import numpy as np,sys

# Func: Only for 2D convolution 
from scipy.signal import convolve2d
from sklearn.utils import shuffle

# Func: For Back propagation on Max Pooling
from scipy.ndimage.filters import maximum_filter
import skimage.measure


np.random.seed(12314)

def ReLU(x):
    mask  = (x >0) * 1.0 
    return mask * x
def d_ReLU(x):
    mask  = (x >0) * 1.0 
    return mask 

def tanh(x):
    return np.tanh(x)
def d_tanh(x):
    return 1 - np.tanh(x) ** 2

def arctan(x):
    return np.arctan(x)
def d_arctan(x):
    return 1 / ( 1 + x ** 2)

def log(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-1 * x))
def d_log(x):
    return log(x) * ( 1 - log(x))


# 1. Prepare Data
num_epoch = 1000
learning_rate = 0.1
total_error = 0

x1 = np.array([
    [0,0,0,-1],
    [-1,0,-1,0],
    [-1,0,-1,-1],
    [1,0,-1,-1]    
])

x2 = np.array([
    [0,0,0,0],
    [0,0,-1,0],
    [0,0,0,0],
    [1,0,0,-1]    
])

x3 = np.array([
    [0,0,0,-1],
    [0,0,-1,0],
    [-1,0,1,1],
    [1,0,-1,1]    
])

x4 = np.array([
    [0,0,0,1],
    [1,0,1,0],
    [1,0,1,1],
    [1,0,1,1]    
])

image_label=np.array([
    [-1.42889927219],
    [-0.785398163397],
    [0.0],
    [1.46013910562]    
])

image_matrix = np.array([x1,x2,x3,x4])

w1 = (np.random.randn(2,2) * 4.2 )-0.1
w2 = (np.random.randn(2,2)* 4.2)-0.1
w3 = (np.random.randn(4,1)* 4.2)-0.1


print('Prediction Before Training')
predictions = np.array([])
for image_index in range(len(image_matrix)):
    current_image  = image_matrix[image_index]

    l1 = convolve2d(current_image,w1,mode='valid')
    l1A = tanh(l1)

    l2 = convolve2d(l1A,w2,mode='valid')
    l2A = arctan(l2)

    l3IN = np.expand_dims(l2A.ravel(),0)

    l3 = l3IN.dot(w3)
    l3A = arctan(l3)

    predictions = np.append(predictions,l3A)
print('---Groud Truth----')
print(image_label.T)
print('--Prediction-----')
print(predictions.T)
print('--Prediction Rounded-----')
print(np.round(predictions).T)
print("\n")


for iter in range(num_epoch):

    for current_image_index in range(len(image_matrix)):
        
        current_image = image_matrix[current_image_index]
        current_image_label = image_label[current_image_index]

        l1 = convolve2d(current_image,w1,mode='valid')
        l1A = tanh(l1)

        l2 = convolve2d(l1A,w2,mode='valid')
        l2A = arctan(l2)

        l3IN = np.expand_dims(l2A.ravel(),0)

        l3 = l3IN.dot(w3)
        l3A = arctan(l3)

        cost = np.square(l3A - current_image_label).sum() * 0.5
        total_error += cost

        grad_3_part_1 = l3A - current_image_label
        grad_3_part_2 = d_arctan(l3)
        grad_3_part_3 =l3IN
        grad_3 =  grad_3_part_3.T.dot( grad_3_part_1 * grad_3_part_2)

        grad_2_part_IN = np.reshape((grad_3_part_1 * grad_3_part_2).
        dot(w3.T),(2,2))
        grad_2_part_1 = grad_2_part_IN
        grad_2_part_2 = d_arctan(l2)
        grad_2_part_3 = l1A
        grad_2=  np.rot90( convolve2d(grad_2_part_3,np.rot90
        (grad_2_part_1 * grad_2_part_2,2),mode='valid')     ,2)
        
        grad_1_part_IN_pad_weight = np.pad(w2,1,mode='constant')
        grad_1_part_IN = np.rot90(grad_2_part_1 * grad_2_part_2,2)

        grad_1_part_1 = convolve2d(grad_1_part_IN_pad_weight,
grad_1_part_IN,mode='valid')
        grad_1_part_2 = d_tanh(l1)
        grad_1_part_3 = current_image
        grad_1 =  np.rot90( convolve2d(grad_1_part_3,np.
        rot90(grad_1_part_1 * grad_1_part_2,2),mode='valid')     ,2)

        w1 = w1 - learning_rate * grad_1
        w2 = w2 - learning_rate * grad_2
        w3 = w3 - learning_rate * grad_3
        
    #print('Current iter:  ', iter, ' current cost: ', cost, end='\r')
    total_error = 0

        
print('\n\n')
print('Prediction After Training')
predictions = np.array([])
for image_index in range(len(image_matrix)):
    current_image  = image_matrix[image_index]

    l1 = convolve2d(current_image,w1,mode='valid')
    l1A = tanh(l1)

    l2 = convolve2d(l1A,w2,mode='valid')
    l2A = arctan(l2)

    l3IN = np.expand_dims(l2A.ravel(),0)

    l3 = l3IN.dot(w3)
    l3A = arctan(l3)

    predictions = np.append(predictions,l3A)
print('---Groud Truth----')
print(image_label.T)
print('--Prediction-----')
print(predictions.T)
print('--Prediction Rounded-----')
print(np.round(predictions).T)
print("\n")