$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$We study the Boolean function parameters sensitivity ($s$), block sensitivity ($bs$), and alternation ($alt$) under specially designed affine transforms. For a function $f:\F_2^n\to \{0,1\}$, and $A=Mx+b$ for $M \in \F_2^{n\times n}$ and $b\in \F_2^n$, the result of the transformation $g$ is defined as $\forall x\in\F_2^n, g(x)=f(Mx+b)$. We study alternation under linear shifts ($M$ is the identity matrix) called the shift invariant alternation (denoted by $salt(f)$). We exhibit an explicit family of functions for which $salt(f)$ is $2^{\Omega(s(f))}$. We show an affine transform $A$, such that the corresponding function $g$ satisfies $bs(f,0^n) \le s(g)$, using which we proving that for $F(x,y)=f(x\land y)$, the bounded error quantum communication complexity of $F$ with prior entanglement, $Q^*_{1/3}(F)=\Omega(\sqrt{bs(f,0^n)})$. Our proof builds on ideas from Sherstov (2010) where we use specific properties of the above affine transformation. We show, * For a prime $p$ and $0<\epsilon<1$, any $f$ with $deg_p(f)\le(1-\epsilon)\log n$ must satisfy $Q^*_{1/3}(F) = \Omega(\frac{n^{\epsilon/2}}{\log n})$. Here, $deg_p(f)$ denotes the degree of the multilinear polynomial of $f$ over $\F_p$. * For any $f$ such that there exists primes $p$ and $q$ with $deg_q(f) \ge \Omega(deg_p(f)^\delta)$ for $\delta > 2$, the deterministic communication complexity - $D(F)$ and $Q^*_{1/3}(F)$ are polynomially related. In particular, this holds when $deg_p(f) = O(1)$. Thus, for this class of functions, this answers an open question (see Buhrman and deWolf (2001)) about the relation between the two measures. We construct linear transformation $A$, such that $g$ satisfies, $alt(f) \le 2s(g)+1$. Using this, we exhibit a family of Boolean functions that rule out a potential approach to settle the XOR Log-Rank conjecture via a proof of Sensitivity conjecture [Hao Huang (2019)].


翻译:$\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\F\\\\\\\\\F\\\\\\F\\\\\F\\\\F\\\F\\\\\\F\\\\F\\\\\F\\\\\\F\\\\F\\\\\\\\\\F\\\\F\\\\美元, 变色美元是$\\\\美元\\\\美元\\美元\\\\美元\\美元\\美元\\\\F\\\F\\\\\\\\\\\\\\\\\\\美元\美元\\\\美元\\\\\美元\\\\\\美元\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\\\\美元\\\\\\\\\美元\美元\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\美元\\美元\美元\\\\\\\\\\\\\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\美元\\\\\美元\美元\c\\\\\\\\\一个一个一个一个一个一个一个一个一个在变变的变美元\美元(美元(美元\一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个一个在美元(美元\一个一个一个一个一个一个一个或美元和美元\美元的变美元的变美元(美元(美元(美元(美元, 美元\美元\一个或美元(美元\c\

0
下载
关闭预览

相关内容

Stabilizing Transformers for Reinforcement Learning
专知会员服务
54+阅读 · 2019年10月17日
机器学习入门的经验与建议
专知会员服务
89+阅读 · 2019年10月10日
计算机 | 入门级EI会议ICVRIS 2019诚邀稿件
Call4Papers
10+阅读 · 2019年6月24日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
24+阅读 · 2019年5月18日
meta learning 17年:MAML SNAIL
CreateAMind
11+阅读 · 2019年1月2日
Ray RLlib: Scalable 降龙十八掌
CreateAMind
8+阅读 · 2018年12月28日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
15+阅读 · 2018年12月24日
Arxiv
9+阅读 · 2020年10月29日
Efficient and Effective $L_0$ Feature Selection
Arxiv
5+阅读 · 2018年8月7日
Arxiv
5+阅读 · 2017年12月14日
Arxiv
3+阅读 · 2017年12月14日
VIP会员
相关资讯
计算机 | 入门级EI会议ICVRIS 2019诚邀稿件
Call4Papers
10+阅读 · 2019年6月24日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
24+阅读 · 2019年5月18日
meta learning 17年:MAML SNAIL
CreateAMind
11+阅读 · 2019年1月2日
Ray RLlib: Scalable 降龙十八掌
CreateAMind
8+阅读 · 2018年12月28日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
15+阅读 · 2018年12月24日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员