哈达马乘积
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一 写在开头
1.1 本文内容
机器学习中的一个小概念——哈达马乘积（Hadamard Product）及其性质。
二 哈达马乘积（Hadamard Product）
2.1 哈达马乘积定义及其性质
对于两个同为\(m \times n\)阶的矩阵\(A\)和\(B\)，则\(A\)和\(B\)的哈达马乘积定义为：
\[(A \circ B)_{i,j} = (A)_{i,j}(B)_{i,j}
\]
比如，这是一个哈达马乘积的实例：
\[\left[
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right]
\circ
\left[
\begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
a_{11}\times b_{11} & a_{12}\times b_{12} & a_{13}\times b_{13}\\
a_{21}\times b_{21} & a_{22}\times b_{22} & a_{23}\times b_{23}\\
a_{31}\times b_{31} & a_{32}\times b_{32} & a_{33}\times b_{33}
\end{array}
\right]
\]
注意，哈达马乘积要求矩阵\(A\)和\(B\)必须具有相同的阶。
易知，哈达马乘积具有如下的性质：
\[A \circ B = B \circ A
\]
\[A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C
\]
\[A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C
\]
2.2 哈达马乘积的应用
在深度学习框架TensorFlow中有计算哈达马乘积的API——tf.multiply()。下面是在TensorFlow中的一个具体实例。
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
import tensorflow as tf
x = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
with tf.Session() as session:
print(session.run(tf.multiply(x, x)))
'''输出结果为：
[[ 1 4 9]
[16 25 36]
[49 64 81]]
'''
