Talmi-Moshinsky Brackets的发展历史

Talmi-Moshinsky Brackets的发展历史

本文是作者最近学习相关内容所写的笔记的一部分,旨在理顺TMB的发展轨迹。

以后如果有时间,将会更新具体的计算方法。

M.G.Mayer和J.H.D.Jensen在1949年各自独立提出了原子核壳模型。从此,原子核壳模型便成为核物理学家关心的热点问题。人们在研究核力时发现,所有的核内的相互作用矩阵都可以化简为两个粒子之间的相互作用矩阵。而研究少体问题,一个更为方便的坐标系是雅可比坐标系。因此,研究笛卡尔系和雅可比系的转换问题便成为了物理学家所需要思考的一个问题。

对于这个问题,公认的开山之作是Moshinsky在1952年发表的“Transformation Brackets For Harmonic Oscillator Functions”[1]。在这篇文章中,他给出了在谐振子基中,两个系的转换递推关系式。在他的方法中,有两个核心的问题:

(1).壳层理论中相互作用势的所有矩阵元都可以用Talmi[2]积分写出。

(2).利用拉盖尔多项式的递推关系式:

L^{l+1/2}_{n+1}(r^2)=(n+1)^{-1}[(2n+1+\frac{3}{2})-r^2]L^{l+1/2}_{n}(r^2)-(n+1)^{-1}(n+l+\frac{1}{2})L^{l+1/2}_{n-1}(r^2)

可以写出谐振子基的递推关系式,即:

|n_1+1l_1,n_2l_2,\lambda\mu\rangle=[(n_1+1)(n_1+l_1+\frac{3}{2})]^{-1/2}[(2n+1+\frac{3}{2})-r^2]|n_1l_1,n_2l_2,\lambda\mu\rangle\\\notag -[(n_1)(n_1+l_1+\frac{1}{2})]^{-1/2}[(n_1+1)(n_1+l_1+\frac{3}{2})]^{-1/2}|n_1-1l_1,n_2l_2,\lambda\mu\rangle

这是由于单个谐振子的波函数可以写为

\phi_{nlm}(r)=(-)^n[\frac{2(n)!}{\Gamma(n+l+3/2)}]^{1/2}exp(-r^2/2)r^lL^{l+1/2}_n(r^2)Y_{lm}(\theta,\varphi)

这个转换括号被称为Talmi-Moshinsky括号。


在1960年,Moshinsky和Brody在一起完善了这个方法,用群论将谐振子问题严格数学化[3]。并在“ Tables of transformation brackets for shell model calculations ”[4]中给出了所有TM括号的可能取值。


但是由于这个表格不足以用于Hartree-Fock方法的计算,于是在1966年,Baranger和Bavies重新考虑了这个问题[5]。他们利用了升降算符,推导出了另一种递推关系。这种方法特别适用于相对角动量量子数比较小的情况。


而另一边,在1961和1962年Smirnov将这种方法推广到了可以计算两个不同质量的粒子的情况,同时他得到括号的一般闭合表达式,而括号的结果取决于两个粒子质量的比例[6][7]。在1967年,Bakri对Smirnov的结果做了简化,尤其是他发现在波函数转换的时候,涉及了完全相同的括号[8][9]。最后,Gal在1968年[10]证明了振子托架可以很容易地进一步推广到两个不同质量的粒子以不同频率的振子势运动的情况。Gal的方法与其他方法的不同之处在于,他广泛地使用了群论来得到一个完整的公式。在1969年,Talman推导出了谐振子波函数的诸多性质,并且总结出一套有效简洁的计算TM括号的方法[11]


而在1973,Nunberg与Pace在Bakri,Gal和Talman的基础上,做了重大的推广。他们发现两个坐标系之间的转换都可以用一个正交矩阵来实现[12]。也就是说:

\left\langle \left. n_1l_1,n_2l_2,\lambda\mu\right|nl,NL,\lambda\mu \right\rangle

\left\langle \left. n^\alpha l^\alpha ,N^\alpha L^\alpha ,\lambda\mu\right|n^\beta l^\beta,N^\beta L^\beta,\lambda\mu \right\rangle

其中 \alpha\beta 代表雅可比基下不同的channel。

两者没有本质区别,我们因此把这一类对象更加普遍的括号称为广义TM括号(Generalized Talmi-Moshinsky Brackets)。


接下来,物理学家们的兴趣发生了分歧,大多数人选择去将这个括号推广到N>2的情况以及如何用计算机来实现一般情况下的TMB转换关系,还有一部分人在尝试寻找TMB更加简洁的显示表达式。


1968年,Moshinsky与Kramer在系列论文“Group Theory of Harmonic Oscilltors”的第一篇中,探讨了三体和四体系统的动力学结构[13]。在1981年,Tobocman基于Baranger和Davies的工作,第一个提出了少体体系中的广义TM括号,并且给出了一个三体问题的实例[14]。在此基础上,中国的C.G.Bao与J.C.He在Tobocman的基础上,提出了一种以三体TM括号为基本组件构建多体TM括号的方法[15]。1997年,O.Portilho第一个得到四体TM括号的表达式[16]。2015年,中国的陈洪得到了五体TM括号的表达式[17]


另一方面,在1996年由Buck,Merchant[18]提出目前来看应该是最简洁的二体TM括号的显示表达式。


同时随着计算机的发展,出现了计算速度越来越快的程序,虽然其中大多数程序仍然使用的是FORTRAN77或者FORTRAN90。因此如何使这项技术与现代物理接轨,并且用于核力与少体问题的研究,成了摆在我们眼前的新方向。

参考

  1. ^M. Moshinsky, Nucl. Phys. 13, 104 (1959).
  2. ^ I. Talmi, Helv. Phys. Acta :25 (1952) 185 .
  3. ^T. A. Brody, G. Jacob, and M. Moshinsky, Nucl. Phys. 17, 16 (1960).
  4. ^T.A. Brody and M. Moshinsky, Tables of transformation brackets for shell model calculations (Gordon and Breach, London, 1964).
  5. ^ M. Baranger and K.T.R. Davies, Nucl. Phys. 79 (1966) 403.
  6. ^Yu.E Smirnov, Nucl. Phys. 27 (1961) 177.
  7. ^Yu.F. Smirnov, Nucl. Phys. 39 (1962) 346.
  8. ^M.M. Bakri, Nucl. Phys. A 96 (1967) 115.
  9. ^ MM. Bakri, Nucl. Phys. A 96 (1967) 377.
  10. ^ A. Gal, Ann. Phys. (N.Y.) 49 (1968) 341.
  11. ^J.D. Talman, Nucl. Phys. A 141 (1970) 273.
  12. ^P. Nunberg and E. Pace, Lett. Nuovo Cimento 7, 785 (1973).
  13. ^P.Kramer , M.Moshinsky,Nuclear Physics A107 (1968) 481.
  14. ^W.Tobocman,Nuclear Physics A357 (1981) 293.
  15. ^GAN You-ping, GONG Min-zhuan, WU Chong-en,Computer Physics Communications 34 (1985) 387.
  16. ^4 O. Portilho, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 23, 69 (1997).
  17. ^ S.-Y. Xiao, X.-L Mu, Z.-X. Deng, H. Chen, Five-body Moshinsky brackets, J. Math. Phys. 56 (2015) 042102.
  18. ^ Buck B., Merchant A.C., Nucl. Phys. A600, 387 (1996).
编辑于 2021-09-20 21:34