一眼万年 | 逝者如斯，还是一往而深◔ ‸◔？
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逝者如斯乎，不舍昼夜。— 《论语·子在川上》
情不知所起，一往而深。— 《牡丹亭·题记》
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1. 岁月的选择偏好
1.1 消亡和暴涨
孔子消逝的江水
“逝者如斯乎，不舍昼夜”。孔子站在河边，望着奔流的江水，突然领悟到大时间尺度下的不可抵御的消亡，感概到“过去的就这样一去不回头了，没日没夜的”。摧毁美好，似乎是岁月的恶趣味。
汤显祖暴涨的爱情
“情不知所起，一往而深”。太多的例子表明控制爱情会导致悲剧。因为这种东西你“不知什么时候开始，哪怕是一点点，它便一发不可收拾”。汤显祖洞察到了岁月的另一个偏好，有些东西它注定要被成全。
1.2 永恒
摧毁也好，成全也罢，关心岁月所至的终局，是人性使然，因为时间的意义，说到底还是人赋予的。几千年过去了，不管是贤者还是凡人仍然在探寻长时间过程的幸存者——那种经过岁月杀猪刀的屠戮，仍然或多或少地维持了某种相似性的，或许可以称为永恒的东西。
1.3 定量讨论
因为孔子、汤显祖都太厉害了，断不敢与他们文斗。这里班门弄斧是受了哥德尔不完备性的鼓舞。中文中可意会不可言传的部分，英文或许有优势，仍然不行，try一下表情包可能有会有奇效。
关于表情包我是战五渣。既然最近在线性代数新手村练级，触景生情，寻思着在线性世界，也就是矩阵控制的演化里，能不能统一理解岁月的选择偏好？这是个可定量讨论的问题。为了方便讨论，我们假设对象的状态可以用向量描述，而时间对对象的影响，就体现在状态向量随时间的演化上。比如外貌协会会员眼中人的状态：
\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 颜值\\ 体重\\ \end{array} \right] \\
而岁月的刻痕，就是颜值和体重的起起伏伏。值得注意的是，岁月是通过杀猪刀来施加作用的，也就是说，真正能使状态向量改变的是施加在对象上的操作。比如，你的嘴花一个小时进行了吃火锅操作，后果是体重涨了1斤：
T_{吃火锅}(\boldsymbol{x})=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& 1.01\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 颜值=100\\ 体重=100\\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 100\\ 101\\ \end{array} \right] \\
接下来我们通过强行播撒人性的光辉，建模永恒的定义。根据直觉，只要状态能扛得住时间施加在其上的变换操作，它就是永恒。那么什么叫扛得住呢？这里定义为，每次时间的操作，状态向量都能维持自我的相似。
换句话说，永恒意味着有些东西不变，但容许一定的不同，它是高级的相似。根据向量和永恒的特点，我们用向量方向相同来代表自相似，用向量长度变化来刻画永恒允许的差异。因为长度有深浅的意味，同时还有量变引起质变的潜能，在某些极端条件下，比如长度为0，可以让任何特定方向消亡（0向量），而方向却不具有这种性质。进一步，我们把时间杀猪刀可用的招式限定在线性变换（可以开心地使用矩阵 ），那么追求永恒就是找到在杀猪刀的屠戮下，状态向量的方向仍然保持不变的情况，写成矩阵形式：
\boldsymbol{x(t+1)} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x(t)}=\lambda \boldsymbol{x(t)} \\
它仅仅是一类特殊的线性方程组(感谢我硬核的初中生涯)。
下面以月为时间单位，揭示岁月选择偏好的实施过程。我们看状态随时间改变的规律：
- 一个月后，
\boldsymbol{x(t=1)}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x(t=0)}=\lambda \boldsymbol{x(t=0)} \\
- 两个月后
\boldsymbol{x(t=2)}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x(t=1)}=\boldsymbol{A}\lambda \boldsymbol{x(t=0)}=\lambda ^2\boldsymbol{x(t=0))} \\
- n个月后
\boldsymbol{x(t=n)}=\boldsymbol{A}...\boldsymbol{A}\lambda \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^n\boldsymbol{x}=\lambda ^n\boldsymbol{x} \\
- 汤显祖的暴涨：当\lambda > 1 爱情与日俱增。
- 孔子的消逝：当\lambda < 1 流水渐行渐远。
- 完美的稳定：当\lambda = 1 亘古不变。
该方程如此的优秀，值得拥有姓名——本征方程。其中\lambda 叫做矩阵\boldsymbol{A}的本征值，\boldsymbol{x}叫做矩阵\boldsymbol{A}的本征矢。值得注意的是，本征值和本征矢都是由矩阵\boldsymbol{A}具体值决定的，也就是说时间杀猪刀的刀法细节决定了状态的去留。其中亘古不变的绝对稳定是极其罕见的（数轴上的唯一点），当刀法有一点点变化，可能都会造成\lambda \ne 1，从而引发暴涨和消退。
2. 求解永恒方程
以下重在回忆，不求严格，如果熟悉直接跳过。独家解决方案，请见还未动笔的《线性代数新手村报告(续)》 。
2.1 本征值与本征矢
将
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x} \\
等式右边移到左边，
(\boldsymbol{A}-\lambda I_n)\boldsymbol{x}=0 \\
其中I_n是n维单位矩阵，比如
I_2=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right] \\
我们解读下这个方程，如果该方程有非零解，矩阵(\boldsymbol{A}-\lambda I)的列向量在经过\boldsymbol{x}线性组合后，得到了零向量。这意味着矩阵(\boldsymbol{A}-\lambda I_n)的列向量线性相关。其行列式的值必然为零。其对应方程成为特征方程。
det(\boldsymbol{A}-\lambda I_n)=f(\lambda)=0 \\
这个行列式展开会得到一个多项式，解这个多项式你会得到一系列的\lambda_1,...。将这些\lambda代回本征方程，比如\lambda_1
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_1}=\lambda_1\boldsymbol{x_1} \\
你就得到一个普通的线性方程组，解这个方程组，得到与本征值\lambda_1对应的本征矢\boldsymbol{x_1}。
2.2 特征空间
对于n维矩阵，如果特征方程有n个不同的特征值\lambda_1,...,\lambda_n，那么其对应的n个特征矢\boldsymbol{x_1},...,\boldsymbol{x_n}是线性无关的。换句话说，这n个特征矢可以张开一个n维线性空间。任何其它矢量（状态）都可以用它们的线性组合表示：
\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{x_1}+...+c_n\boldsymbol{x_n} \\
那么
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=c_1\lambda_1 \boldsymbol{x_1}+...+c_n \lambda_n \boldsymbol{x_n} \\
2.3 状态在时间长河中的演化
有了空间就好办了，在杀猪刀\boldsymbol{A}的屠戮下，从任何初始状态t=0开始，经过时间n后，状态变为
\boldsymbol{x(t=n)}=\boldsymbol{A}^n\boldsymbol{x(t=0)} \\
将初始状态x(t=0)用特征矢展开，用A作用一次：
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x(t=0)}=c_1\lambda_1 \boldsymbol{x_1}+...+c_n \lambda_n \boldsymbol{x_n} \\
那么n次后，
\boldsymbol{x(t=n)}=\boldsymbol{A^n} \boldsymbol{x}=c_1\lambda_1^n \boldsymbol{x_1}+...+c_n \lambda_n^n \boldsymbol{x_n} \\
这个结论值得深入guò dù解读,首先看初始状态
\boldsymbol{x(t=0)}=c_1\boldsymbol{x_1}+...+c_n\boldsymbol{x_n} \\
如果初始时，某个本征矢方向的分量为0（c_i=0）,那么不管岁月如何努力（花多长时间），其本征值多大，它都不会出现在未来中。因为
0 \cdot \lambda_i^n = 0 \\
无论\lambda多大。所以在线性世界，如果没有开始，就没有以后。
如果初始时，某个本征矢对应的本征值|\lambda|<1,那么，岁月将很快让它消逝。因为此时
\lim_{n\rightarrow +\infty} \left( c_i \cdot \lambda_i^n \right) =0 \\
是指数衰减，不管c_i多大。所以在线性世界，有些消亡你无法阻止。
如果初始时，某个本征矢对应的本征值\lambda>1,那么，岁月将很快让它成长。因为此时
\lim_{n\rightarrow +\infty} \left( c_i \cdot \lambda_i^n \right) =\infty \\
是指数暴涨，不管c_i多小。所以在线性世界，有些意外你可以期待。
3. 二师兄的例子
如果，对于猪群，时间的屠刀是这样安排的：
- 出生当年，杀掉一半的猪；
- 剩下一半的猪，在它们一岁时再杀掉一半；
- 两岁的猪全部杀光。
- 初生的猪不产仔，一岁的猪年产6个，两岁的猪年产8个。 第n年，猪种群的状态矢量为\boldsymbol{x}(n)：
\left[ \begin{array}{c} x_1(n)=0岁猪的数量\\ x_2(n)=1岁猪的数量\\ x_3(n)=2岁猪的数量\\ \end{array} \right] \\
那么第n+1年，猪的种群为：
\begin{aligned} &x_1(n+1)=\quad \quad 6 x_2(n)+8 x_3(n)\\ &x_2(n+1)=\frac{1}{2} x_1(n)\\ &x_3(n+1)=\quad \quad \frac{1}{2} x_2(n) \end{aligned} \\
也就是说时间的杀猪矩阵[3]为，
\left[ \begin{matrix} 0& 6 & 8\\ \frac{1}{2}& 0 & 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ \end{matrix} \right] \\
该矩阵的本征值为\lambda_1 = 2;\lambda_2 =-1;\lambda_3 =-1，其中\lambda_1 = 2对应的本征矢为
\left[ \begin{array}{c} 16\\ 4\\ 1\\ \end{array} \right] \\
后两个本征值都为-1，意味着不管最初猪种群的情况怎么样，很快本征值为2对应的本征矢将起绝对主导（2^n 增长很快）。猪种群的数量每年翻一倍，最终比例接近16：4：1。
\boldsymbol{x(t=n)}=c_1 \cdot 2^n \left[ \begin{array}{c} 16\\ 4\\ 1\\ \end{array} \right]+...+c_3 \cdot (-1)^n \boldsymbol{x_n} \\
4. 结语
如果矩阵不变，那么线性世界孕育着宿命。随着时间的流逝它们或消亡，或暴涨，或不变。有时候初始状态对终局并不那么重要，规则本身会快速抹平出身的差异。所以我们才那么怀念少年。
不过好在真实世界，充满线性也允许非线性，即使困在线性世界，通过稍微改变矩阵，结局也可以翻天覆地。所以，换个环境，假以时日，你可能大不一样。
Reference
[1]
图片来源: 百度图片，未见版权信息，如有侵权请联系删除。
[2]
图片来源: 百度图片，未见版权信息，如有侵权请联系删除。
[3]
矩阵来自Dan Margalit和Joseph Rabinoff: https://textbooks.math.gatech.edu/ila/demos/rabbits/book_demo.html